0144]
(6)
[0145] 其中θ是接頭之前的旋轉位移，且φ是接頭之后的旋轉位移。
[0146] 整體剛度矩陣(MSM)現在可以使用用于每個桿與接頭的部件剛度矩陣被組合。由 于桿剛度矩陣在其中桿剛度矩陣是恒定的局部坐標系中給出，矩陣必須轉換成全局坐標系 以便組合整體剛度矩陣。這樣的轉換取決于由具有機械臂DOF元素的接頭坐標界定的構造。 該轉換將重新布置部件剛度矩陣中的剛度參數位置;然而，剛度參數仍然是相同的。因此， 機械臂的剛度隨著對應于坐標轉換的構造變化。這里，由傳動系統的影響引起的致動器/馬 達與桿位置之間的差異通常是不重要的，因為其相比于接頭角度通常較小，但原則上正是 接頭角度是相關的(且根據W02014065744A1是可計算的）。
[0147] 對于每個單個夾持運動構造，桿剛度矩陣可以被放在一起，從而形成更大的MSM。 對于每個夾持運動構造，一些MSM元素將為零，且其它的將反映恒定桿剛度元素。對于另一 個構造，MSM的其它部分將是非零的，且可能由在夾持運動構造中進行的測量識別。MSM的內 容因此可以用于選定一系列的構造，使得關注的所有桿參數例如，通過非線性優化可以被 確定。因此，MSM的結構被界定。機械臂100可以設置有傳感器，該傳感器構造成當處于一個 或數個夾持運動構造中時，產生具有傳感器數據的傳感器信號以獲得將在下面的優化中使 用的傳感器數據。該傳感器可以是構造成產生具有力數據的傳感器信號的力傳感器。
[0148] 在下面參考圖Ila-Ilb將描述MSM的組合。使用所列舉的如在圖Ila中的矩陣K左邊 和頂部上示出的位移坐標，用于SKM的MSM獲得說明性結構，該說明性結構具有沿著且圍繞 矩陣的對角線的桿塊，以及與其連接的桿重疊的在對角線上的接頭塊。由于存在連接至共 同的接頭的兩個以上的部件，對于ΡΚΜ，或包括任何并聯連桿的任何機械臂，將存在由兩個 以上的重疊部件矩陣形成的MSM元素。例如，如果桿C將連接至接頭ΑΒ(從而造成位移^與 yi)，這將意味著與2x2塊矩陣重疊的更多的元素，在圖Ila中2x2塊矩陣是桿A與桿B的重疊 (用于整體位移坐標幻與又:）。并聯接頭或冗余機械臂還可以具有接頭元素的重疊。由于MSM 基于所有的整體位移，且連桿的任何組合在位移位置處根據力/扭矩平衡可以被疊加至跨 越結構上，由此得出任何機械臂或機構可以被表示。因此，對于任何類型的機器人，有利于 確定未知參數。
[0149] 從牛頓定律可知，在靜止狀態下，所有力的和等于零。因此這在我們的模型中對于 節點是真實的，這在其它任何地方也是真實的。我們知道來自部件k的力是&,其中，|^取 決于前面描述的部件的所界定的結構。我們需要在每個位置中對相同方向上的所有力求 和。為了做到這，每個桿的局部DOF需要被轉換成機械臂2的全局坐標系統。這種轉換可以通 過下面的方程(7)與(8)來描述。如果圖10中的部件在坐標系統中沿著桿A與桿B被初始地描 述，我們需要找出從局部D0Fx k、yk、爐/c以及0k至全局坐標系的映射。我們觀察到該關系是：
[0150] xk = cos(0)ux-sin(9)uy (7)
[0151] yk = sin(0)ux+cos(0)uy (8)
[0152] 其中，Xk與、yk是全局坐標系中的位移，Ux沿桿的主軸延伸， ％沿桿的高度延伸。在 平面的情況中，旋轉私&與91{不受坐標變化的影響，但對于一般的三維系統，還將存在旋轉 坐標之間的映射。從方程(7)與(8)中的關系，我們可以根據如下形成坐標變換矩陣L:
[0153]
(9)
[0154] 該坐標變換矩陣將局部坐標系中的部件剛度矩陣變換成全局坐標部件剛度矩陣。 在三維的情況中，其中，桿可能具有任何定向，變換矩陣將更加復雜，但可以根據描述桿方 向的四元數被指定。用于部件k的全局坐標部件剛度矩陣K k然后被給定為：
[0155]
(10)
[0156]在連接至部件k的節點上的來自部件k的力現在給定為：
[0157]
(1:1)
[0158] 現在我們在每個節點中對作用在每個方向上的所有力求和。這通過將在全局坐標 中表達的部件剛度矩陣Kk添加至k中對應的位置來完成。這類似于剛度矩陣如何被組合在 FEM中。而且，我們在機械臂基座和夾持的末端器處具有一些邊界條件，這里位移為零。組合 過程使用圖Ila不出。如圖Ila中表不的，存在為零的MSM矩陣k矩形塊，即，不是任何標記的 子矩陣的部分。k矩陣說明性塊結構當然取決于位移如何被列舉。在該示例中使用的列舉被 寫在圖Ila中的k矩陣的頂部上和左邊。重疊矩陣塊意味著存在來自重疊部件的影響的總 和，包括根據k矩陣的列有必要從局部位移轉換成全局位移的三角函數，使得力/扭矩平衡 在全局坐標的位置處保持。在該示例中，與桿B的元素重疊的桿A的元素這里形成用于全局 位移坐標xl與yl的2x2塊矩陣。以類似的方式，接頭AB與其連接至的桿重疊。由于這不是被 動的接頭，來自致動(經由傳動系統通過馬達，在圖10中未示出）的接頭扭矩τ將在矢量F的 這些列上產生非零元素。另外地，對于每個夾持構造，MSM桿矩陣元素中的一些將是零，同 時，其它MSM元素將具有表示桿與接頭剛度的值。與在包括桿的局部坐標中的部件剛度矩陣 的方程（1)對比，在圖Ila中描繪的從方程（12)與方程（13)產生的系統指的是全局坐標系， 且因此恒定的桿剛度矩陣經由相應的變換出現在MSM中，對于每個元素其包括三角函數。這 些函數通過表示對應于接頭角度q(見圖8)的桿定向的四元數元素可以隱含地出現。
[0159]上面的模擬為我們提供關于形式Ku = F形式的方程系統。使na表示是柔性機械臂 的彈性DOF的數量，其等同于K中的行和列的數量，且與u或F中的行的數量相同。矩陣K由na 未知的剛度參數和…ana組成，且矢量u由nu_6未知的變形…·和六個已知為 零的變形組成。矢量F是完全已知的。我們界定函數S為：
[0160] S = S(X)=Ku (12)
[0161] 且I = 叫、全部是未知的參數。因此，系統的彈性部分 的DOF總計是nu。目標是最小化殘差范數(residual norm):
[0162] r=||S-F|| (13)
[0163] 這可以通過使用常規牛頓迭代求解器來完成。因此，優化基于一個或多個所監控 的量被執行。具體地，函數S被線性化為：
[0164] S = So+[JkJu]5X (14)
[0165] 其中，So = S (Xo)與Xo是未知參數的初始估值，Jk是S (X)的相對于剛度參數ak的雅克 比矩陣，且Ju是相對于用于相同的初始猜測值為=Xo的變形u k的雅克比矩陣。矢量X通過迭 代使用求解方程(15)所獲得的增量δΧ進行求解：
[0166] So+[ JkJu]5X=F (15)
[0167] 該雅克比矩陣具有nu行和na+nu-3列，且當n a>6時，該雅克比矩陣將通常是奇異矩 陣。為了克服該奇異性，機械臂被定位在更多的構造中。對于每個新的構造，我們得到&的 新的方程，但n u_6的新的方程還是未知的。盡管變形是不同的，但剛度參數在所有的構造中 是相同的。因此，矢量X將隨著nu-6另外的變形增加。該雅克比矩陣的列將隨相同的數目增 加。整體剛度矩陣然后可以被求解，且剛度參數 aI…ana，以及變形w4~Wnu- 3被確定。 因此，機械臂的剛度參數，即待通過該方法被確定的特性根據MSM的結構被組織，該MSM的結 構將桿和接頭的可能的未知位移與扭矩和力關聯，使得串聯連桿和并聯連桿的任何組合可 以被表示。因此，與下面的解決策略一起，通過所呈現的MSM結構有利于確定未知特性。
[0168] 獲得非奇異雅克比矩陣的構造的最小可能的數量是： γ?
[0169] nC0NF = - (16)
[0170] 方程（14)僅指出如果方程的數量小于now，該雅克比矩陣保證是奇異的，然而，列 之間的線性相關性可能仍然發生，且添加更多的構造可能是有用的。對于每個構造，該兩個 雅克比矩陣被計算，且組合成在圖Ilb中示出的全局的整體雅克比矩陣。
[0171] 該方法結合圖10的簡化的示例這里已經被示出，但應理解，該方法可以應用至任 何機械臂，例如圖1中的機械臂2。
[0172] 機械臂2被施以重力影響，且機械臂2的質量將因此影響桿的形狀，且導致機械臂 部件的撓曲。這意味著重力增加了桿的彎曲。重力的影響可以被分解成桿重力的影響和接 頭重力的影響。根據一個實施方案，該方法包括確定作用在選定軸上的重力效應值，和對于 所確定的重力效應值，補償所確定的選定軸的至少一個特性。所解釋的桿剛度矩陣(3)原則 上模擬由重力引起的該彎曲，但差異是，當桿剛度矩陣（3)捕獲因力F與扭矩M引起的彎曲 時，重力在桿上的另一個未知的位置施以影響。為了對主要動態效應進行補償，一個合理的 模型假定桿的質量是如圖6c中已經示出的桿的重心中的點質量，且桿具有如在圖6d中已經 示出的鄰近的接頭之間的該彎曲的均勻分布。一方面，這看上去是矛盾，因為分布式的和均 勻的彎曲表明分布式的質量，其與所建議的簡化桿重力影響模型相反。另一方面，這樣的簡 化是一致的且具有數個優點：
[0173] ?在所有需要的實驗之后完整的雅克比矩陣將是通過偽逆或非線性優化待求解， 且然后不精確性將被抑制的超定方程或方程組的一部分。
[0174] ?該假定與如今大多數機器人是如何構造的是一致的。
[0175] ?更加詳細的模型可能需要桿的FEM分析(或類似的非剛性主體模擬），FEM分析可 以被完成，但需要本發明的該方法在實踐中避免的工程設計。
[0176] ?用于桿剛度矩陣(3)的剛度參數ana可以用于還捕獲桿重力效應，如圖6(1中 所示，桿重力效應在本發明的方法的框架中可以被管理。
[0177] ?在桿特性的識別中存在(在確定接頭的重力效應的單獨的自由空間實驗之后） 包括桿的重力效應的明確的且自動的方式。即使這些效應不完全是真實的效應，這些效應 對利用桿特性的補償而言是合適的簡化。
[0178] ?用于彈性動力學模型的準靜態假設表明圍繞其質心的桿慣性是可忽略的。
[0179]根據一個實施方案，該方法包括將該至少一個特性與先前獲得的特性值或預定義 的值進行對比，確定該至少一個特性與先前獲得的特性值或預定義的特性值之間的差值， 將該差值與差閾值進行比較且確定基于比較結果的機械臂的磨損。因此，如果所確定的特 性不同于任何先前獲得的特性值，或代表例如具有實質上沒有磨損，或可允許的磨損的選 定軸的特性的預定義的特性值，機械臂的磨損可以通過分析來確定。例如，特性的值可以在 不同的時間點來確定且進行比較。如果該值之間的差值比差閾值大，然后可以確定的是選 定軸被磨損且該軸的一部分需要更換。
[0180] 根據一個實施方案，機械臂是并聯的運動機械臂。
[0181] 根據另一個實施方案，機械臂是多臂機械臂，或具有共用的工作空間的多個機器 人。該方法然后可以通過將夾持運動構造經由夾持機械臂的一個機械臂的臂（或機械臂的 任何選定的可移動部分)到達至該機械臂的任何其它機械臂的臂（或機械臂的任何選定的 可移動部分)而被執行。
[0182] 根據一個實施方案，該方法包括借助于機械臂2的運動校正獲得具體的運動參數， 并基于選定的軸的至少一個所確定的特性更新運動參數。
[0183] 機械臂2的所確定的至少一個特性可以用于多個應用和方面。例如，該至少一個特 性可以用于更新機械臂2的標稱運動參數。該至少一個特性可以用于機械臂2的運動校正。 根據另一個實施方案，該至少一個特性用于更新機械臂2的機器人程序或運動控制參數。
[0184] 本發明還涉及與系統1相關聯的計算機程序P，其中，該計算機程序P包括構造成使 控制單元19執行根據前面示出的步驟中的任一個的方法的計算機指令。本發明還涉及計算 機程序產品，其包括存儲在計算機可讀存儲媒介21上以執行根據前面示出的步驟中的任何 一個的方法的計算機指令。此外本發明涉及計算機程序產品，其包括當執行根據前面示出 的步驟中的任一個的方法時獲得的至少一個特性，其中，該至少一個特性存儲在計算機可 讀存儲媒介21上。
[0185] 所示出的方法可以被執行以用于相同系列的多個機器人以便獲得用于桿和接頭 的標稱平均值，該標稱平均值使用統計數據可以用于確定橫跨機器人系列的這些特性的統 計分布。該數據然后可以用于補償相同類型的機器人中的桿柔度和接頭柔度。
[0186] 上面解釋的方法比先前已知的解決方案提供了確定機器人柔度的更精確的方式。 由于例如，為執行該方法，不需要校正系統或卸除機器人或鎖定某些部分，因而成本可以降 低，其還使得該方法比先前已知的解決方案更容易執行。
[0187]